(On milyonlarca yıl öncesine ait arı fosillerinden bu anlaşılmaktadır). Acaba neden bu şekil dikdörtgen, beşgen, sekizgen değil de altıgendir? Bunu araştıran matematikçiler birim alanın tamamen kullanılması ve en az malzemeyle petek yapılabilmesi için en ideal şeklin altıgen olduğunu ortaya koydular. Petekler üçgen ya da dörtgen olsaydı, boşluksuz kullanılabilecekti. Fakat altıgen hücreler için kullanılan malzeme üçgen ya da dörtgen için kullanılan malzemeden daha azdır. Diğer birçok geometrik şekilde ise kullanılmayan bölgeler ortaya çıkacaktı. Sonuç olarak altıgen hücre, en çok miktarda bal depolarken, yapılması için en az balmumu gereken şekildir.
Dişi (işçi) arıların bu çalışmalarında en çok ilgi çeken durumlardan biri onbinlerce işçi arının her birinin, birer tuğlacığını bıraktığı bu yapının, geometrik ölçülere bütünüyle uyabilmesidir. Matematikçiler verilen belirli miktardaki balmumuyla yumurtadan çıkacak kurtçukları içine alabilecek daha geniş bir yer yapılamayacağını ispatlamışlardır. Böylece işçi arılar belirli miktardaki gereçle, gereken büyüklükteki bir yapının en ekonomik biçimde nasıl yapılabileceğini göstermektedirler.
Antoine Ferchault adındaki bir Fransız
böcek bilgini, bunu “Arılar problemi” diye tanınan bir geometri problemi olarak
ortaya koymuştur. Bu problem şudur: “Tabanı birbirlerine göre eğimi aynı olan üç
çeşit eşkenar dörtgen ile kapanmış düzgün altıgen bir dik prizma verilsin. Bu
prizmanın toplam yüzey alanının en küçük değerde olması için eşkenar dörtgenler
arasındaki açılar ne olmalıdır?” Biri Alman, biri İsviçreli, biri de İngiliz
olan üç tanınmış matematikçi bu problemin çözümüyle uğraştılar ve şu sonuca
vardılar: 70° 32′ (70 derece ve 32 dakika). Gerçekten de bu, dişi bal arılarının
yaptığı petek gözeneklerinin açısının tamı tamına aynısıdır.
İşçi arılarımız peteğin yapımına birkaç farklı noktadan başlarlar. İş
ilerledikçe peteğin gözenekleri orta yerde birleşir. Bu durumda kaynaşma
noktasındaki peteklerin açıları yine kusursuzdur. Bu işçi arıların peteğin
yapımına rastgele koyulmadıklarını, başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki
uzaklıkları, arkadaşları olan diğer işçi arılarının pozisyonlarını önceden çok
ince bir şekilde hesapladıklarını ortaya koyar. En usta matematikçiler bile
arının hesabının kusursuzluğunu 70° 32′ (70 derece ve 32 dakika)’yı hesaplayarak
ortaya koymaktadırlar. Fakat bu matematik profesörlerine elinize bir cetvel
alın, bu açıları tam tutturarak bir altıgen çizin desek, hele hele bu hesapları
yapan üç profesöre üçünüz ayrı yerden başlayarak altıgenler çizin, ortadaki
altıgenler de tam düzgün, kusursuz olsun desek hiç şüphesiz bu kadar ince bir
çizimi beceremezlerdi. Görülüyor ki arı, hem büyük bir teorisyendir, hem de
müthiş bir pratisyendir. Teoride hesaplanması çok zor olanı hesaplamış, pratikte
ise bizim el ve gözlerimizle tayin edemeyeceğimiz hassaslıktaki ölçüleri tuttu
PARADOKSLAR(kategori16)
Paradoks sözcüğü Yunanca“Para : İleri” ve “Doxa : düşünce, inanış” sözcüklerinin birleşmesi sonucu oluşmuştur. Kendi içinde çelişkiliymiş gibi görünen, mantıksal olarak hem doğruluğu, hem de yanlışlığı kanıtlanabilen önerme.
Bilindiği gibi Fatih, genç yaşta padişah olmuştur. Yaşı gençtir ama zekası ve inançları çok kuvvetlidir. Yeni sultan olduğu yıllardır. Birgün bir sefere gidilecekken ordunun başında babasının olmasını ister. Ancak babası bu teklifi kabul etmez. Fatih'in maksadı babasının ilminden ve tecrübesinden yararlanmaktır.
-"Eğer sen padişahsan geç ordunun başına. Yok eğer ben padişahsam emrediyorum ordunun başına geçeceksin!"
Babası Sultan Murat, başka çare bulamaz ve orduya komutanlık yapar.
BÜTÜN GİRİTLİLER YALANCIDIR"
Giritli Eupiminides
"KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERMEYEN KÜMELERİN KÜMESİ KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERİR Mİ?"
Bertrand Russell
Timsah Paradoksu:Bir annenin elinden çocuğunu kapan timsah, çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu vereceğini söyler. Anne, timsaha çocuğunu yiyeceğini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonucunda çocuğunu kurtarır.
Şöyle ki, timsah çocuğu yiyecekse anne timsahın ne yapacağını bilmiş olacak ve timsah çocuğu teslim edecek ancak çocuk teslim edilince anne timsahın ne yapacağını bilememiş olacak; timsah çocuğu yemeyecekse anne bilemediğinden çocuğu yiyecek ama o zaman anne timsahın yapacağının bilmiş olacak ve bu yüzden yememesi gerekecek.
Kısaca, bu iki durumda da timsah çocuğu ne yiyebilir ne de yiyemez.
Berber Paradoksu
Bertrand Russell'ın 1918'de ortaya attığı berber paradoksu da "yalancı paradoksu" na benzer bir paradoks.
"Seville' in kendini traş etmeyenlerini traş eden berberi kendini traş eder mi etmez mi?"
Kendini traş etmeyenleri traş eden berber kendini traş ederse kendi kendiyle çelişki içine düşer. Kendini traş
etmezse tanımdan ötürü kendini traş etmesi gerekir, ama bu da bir çelişkidir.
Bu durumda bu berber berber dükkanını kapatıp yeni bir mesleğe atılmalıdır:))
Bu iki paradoksta da sonsuza uzanan bir kısır-döngü vardır.
Yalancı paradoksu
"Şimdi yalan söylüyorum."
Bu önermenin doğruluk değeri nedir? Yani "şimdi yalan söylüyorum" derken doğru mu söylüyorum yoksa yalan mı söylüyorum? Düşünecek olursak
Bu önermenin doğru olduğunu varsayalım. Öyleyse yalan söylüyorum. Ancak önermenin doğru olduğunu varsaymıştım öyleyse çelişkiye düştüm
Bu önermenin yalan olduğunu varsayalım. O zaman bu cümle doğru olmalıdır. Gene bir çelişki.
Başka paradoks da şöyledir.
Elinizde bir kart olduğunu düşünün. Kartın bir yüzünde şu yazsın:
“Bu kartın diğer tarafında yazan cümle doğrudur.”
Kartın diğer yüzünde ise şu yazsın:
“Bu kartın diğer tarafında yazan cümle yanlıştır.”
Okuduğunuz ince bir Türkçe kitap düşünün ve aşağıdaki yargılara bir göz atın.
Bu kitap 597 sayfadır.
Bu kitabın yazarı Conficius’ dur.
Burada belirtilen 1, 2 ve 3 önermeleri yanlıştır.
KARIŞIK BİR HESAP
İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30′ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL’ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL’ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30′ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:
-”Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL’ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5
Kalem……………20 TL ise
60 Kalem…………..x TL’dir.
Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar,
ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber
sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?
Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:
a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:
a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)…………………………her
iki tarafı (a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc………………………….parantezleri
açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc………………………..ac
yi sol tarafa attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²………………………….b²
yi sağ tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b²………………………..2ab
nin birini sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)…………………………a
ve b parantezine aldık.
a=b…………………………………………….(a-b-c)
ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki
süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:
İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.
2+2=5?
X = Y
…………………………………………olsun
X² = X.Y……………………………………..eşitliğin
her iki tarafını ‘X‘ ile çarptık.
X² - Y² = XY - Y²…………………………her
iki taraftan ‘Y²‘ çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )……………sol
tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı ‘Y‘ parantezine aldık.
( X + Y ) = Y……………………………….(
X - Y )‘ler sadeleşti.
X + X = X…………………………………...X
= Y olduğundan,
2.X = X……………………………………….’X‘
leri topladık.
2 = 1 …………………………………………’X‘
ler sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3………………………………her
iki tarafa ‘3‘ ilâve ettik.
5 = 4…………………………………………..buradan,
5 = 2 + 2…………………………………’4‘ü,
‘2+2‘ şeklinde yazdık. HATA NEREDE?
EĞLENCE(kategori 17)
Yangın
Bir mühendis ,bir fizikçi ve bir matematikçi bir hoteldedir.Derken mühendis burnuna gelen duman kokusuyla uyanır,hole çıkar ,bir de bakar ki bir yangın var.Eline geçirdiği bir kovaya su doldurarak yangını söndürmeye çalışır.Daha sonra fizikçi uyanır,aynı yangını görür ve yangın hortumunu bulur ve başlar hesap yapmaya;su basıncı, alevin şiddeti,aradaki mesafe falan derken hesaplara göre minimum miktarda suyla ve minimum enerjiyle yangını söndürür (ikinci versiyon yaptığı hesaplara göre yangının sönmeyeceği ortaya çıkar ve yatağına geri döner)Daha sonra matematikçi kalkar kokunun etkisiyle ve hole koşar bir de baksın yangın var.Derken çözüm aramaya koyulur.derken yangın hortumunu bulur ve “çözümü buldum” diye bağırarak yatağına geri döner.
Bir mühendis ,bir fizikçi ve bir matematikçi İskoçya' da trenin penceresinden bakarken siyah bir koyun görürler, mühendis hemen atılır;İskoçya' daki bütün koyunlar siyah der.Fizikçi söze karışır İskoçya' daki bazı koyunlar siyah diyerek.Ve matematikçi son noktayı koyar İskoçya' da en az bir tarafı siyah olan en az bir tane koyun vardır.
Üçgenin tanımı
İlkokulda, matematik
dersinde öğretmen üçgenin alanını, çocuklara şu şekilde öğretmiş: Bir
üçkenarlının alanı, yatayımı ile diklesiminin vuruşumunun, ikiye bölümüdür.
Çocuk bunu güzelce ezberlemiş.
Akşam babası evde sormuş:
- Bu gün okulda ne öğrendiniz?
- Matematik dersinde, bir üçkenarlının alanını öğrendik babacığım.
- Ya öyle mi, peki nasıl öğrendiniz?
- Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin vuruşumunun,ikiye bölümüdür.
- Yavrum, yanlış öğretmişler size. Doğrusu : Bir üçgenin alanı, tabanı ile
yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.
O sırada, bir yandan gazetesini okuyan, bir yandan da torunuyla oğlunun
konuşmasını dinleyen dede, dayanamayıp söze girmiş :
- İkinizin de tanımı yanlış! Bir müsellesin mesaha-i sathiyesi, kaidesiyle
irtifaının hasıl-ı darpının nısfına müsavidir.
indirgeme
Bir matematikçi ve fizikçi fakültenin dinlenme salonun da oturup kahvelerini yudumlarken bakarlar ki kahve makinesi tutuşmuş,fizikçi hemen koşarak eline aldığı kovayı doldurarak ateşi söndürür.İkinci gün olacak ya aynı olay tekrar vuku bulur.Bunun üzerine matematikçi koşar kovayı alır getirir ve fizikçinin eline tutuşturarak problemi daha önce çözümlenmiş olanına indirger.
Tanımlar
Matematik, 50% formüllerden, 50% ispatlardan, 50% de hayal gücünden oluşur!
Matematikçiler üçe ayrılırlar;saymasını bilenler ,saymasını bilmeyenler!
Eski matematikçiler hiç bir zaman ölmezler, sadece bazı fonksiyonlarını kaybederler.
Yaş Bulma
Bir
kişiye 10’dan küçük bir sayı tutmasını söyleyin, tuttuğu sayıyı 9’la çarptırın.
Yaşını da 10’la çarptırın. 9’la çarptığı sayıyı 10’la çarptığı sayıdan
çıkarmasını ve sonucu bildirmesini söyleyin.
Çıkan sayının son rakamını, bir önceki sayıyla topladığınızda onun yaşını bulmuş
olursunuz.
Örnek: 7 tutsun 9’la çarptığında 63 olur. Yaşı da 13 olsun. 10’la çarptığında
130 olur. 130-63 = 67’dir. Size sonucu 67 olarak bildirdiğinde 6+7 = 13 diye
yaşını söyleyebilirsiniz.